Комплексная задача: наклонная плоскость, трение, неупругий удар
Условие
Небольшой груз массой 2 кг находится на вершине гладкой наклонной плоскости высотой 5 м и углом наклона 30°. У основания плоскости расположен горизонтальный участок длиной 4 м с коэффициентом трения μ = 0,25. После прохождения горизонтального участка груз сталкивается и абсолютно неупруго соединяется с покоящимся грузом массой 3 кг.
Определите скорость объединённого тела сразу после удара.
● m₁ = 2 кг
|\
| \
h=5 | \ 30°
| \
| \
|_____\
==================
μ = 0,25 L = 4 м
● m₂ = 3 кгРешение
Дано
$$ m_1 = 2 \text{ кг}, \quad m_2 = 3 \text{ кг}, \quad h = 5 \text{ м}, \quad \alpha = 30^\circ, \quad \mu = 0.25, \quad L = 4 \text{ м}, \quad g = 10 \text{ м/с}^2 $$
Найти
$$ V $$ — скорость системы после удара.
Решение
На вершине груз обладает потенциальной энергией:
$$ E_p = m_1 g h = 2 \cdot 10 \cdot 5 = 100 \text{ Дж} $$Наклонная плоскость гладкая, поэтому у основания вся потенциальная энергия переходит в кинетическую:
$$ E_k = 100 \text{ Дж} $$Скорость перед горизонтальным участком:
$$ \frac{m_1 v_1^2}{2} = 100 \Rightarrow v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2}} = 10 \text{ м/с} $$Работа силы трения на горизонтальном участке:
$$ A_{\text{тр}} = \mu m_1 g L = 0.25 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 4 = 20 \text{ Дж} $$Кинетическая энергия после преодоления трения:
$$ E_k = 100 - 20 = 80 \text{ Дж} $$Скорость непосредственно перед ударом:
$$ \frac{2 v_2^2}{2} = 80 \Rightarrow v_2^2 = 80 \Rightarrow v_2 = \sqrt{80} \approx 8.94 \text{ м/с} $$Абсолютно неупругий удар. По закону сохранения импульса:
$$ m_1 v_2 = (m_1 + m_2) V \Rightarrow 2 \cdot 8.94 = 5 V \Rightarrow V = \frac{17.88}{5} \approx 3.58 \text{ м/с} $$Проверка размерности:
$$ [V] = \frac{\text{кг} \cdot \text{м/с}}{\text{кг}} = \text{м/с} $$Размерность верна.